Demostración del cálculo del área (Grupal)
Demostración del cálculo del área por:
- Paula Gil Laiton
- Valentina Soto Cifuentes
- Nikole Méndez Gamba
- Vannessa Lozano Roldán
El área para la geometría, es
la superficie comprendida dentro de un perímetro, que se expresa en unidades de
medidas que son conocidas como superficiales. Existen distintas fórmulas para
calcular el área de las diferentes figuras, como los triángulos, los
cuadriláteros, los círculos y las elipses.
En este caso nos vamos a basar
en el área de una poligonal.
Como bien se sabe después de realizar la cartera de cálculo de una poligonal cerrada y llegar a las coordenadas de cada punto se puede determinar el área de la poligonal. Cuando los lados de la superficie son rectilíneos se usa el método de coordenadas cartesianas, cuando se tiene algún lado curvo se usa el método de Simpson y el método de Poncelet.
Para esto está la fórmula de
Gauss de Hiuller, El método mecanizado de Gauss consiste en multiplicar cada
norte por la diferencia entre el Este del punto inferior y superior. Luego, se debe
sumar cada multiplicación y dividir el resultado en 2. Según el método de Gauss
se multiplica la coordenada norte del punto 1 por la diferencia entre la
coordenada este del punto 2 y 6, se le suma el producto de la coordenada norte
del punto 2 por la diferencia entre los este de los puntos 3 y 1 más el
producto del norte del punto 3 por la diferencia de los este de los puntos 4 y
2 y así sucesivamente, por último, se divide entre 2 para obtener el área.
Pero, ahora veremos porque se realiza así este proceso y de donde sale la fórmula. Para ello veremos un ejemplo, este polígono de 6 vértices lo podemos dividir en diferentes trapecios donde encontramos el trapecio número uno formado por los vértices 1 y 2, el trapecio dos con los vértices 2 y 3, el tercero con el 3 y 4, el cuarto con el 5 y 4, el quinto con el 6 y 5 y el último, el número 6 con los vértices 1 y 6. Así podemos deducir que el área del polígono está dada tomando las áreas de los trapecios 1, 2 y 3 y restarles a estas el área de los trapecios 4,5 y 6.
Entonces, veremos cómo
calcular el área de un trapecio, la fórmula para calcular la superficie del
trapecio es multiplicando la base por la altura media. Entonces, por ejemplo,
la superficie del trapecio uno sería multiplicar la base, es decir la
coordenada este 2 menos este 1 por la coordenada norte 1 más norte 2 dividido
en 2 y así sucesivamente con el área de cada trapecio de esta manera.
Así, el área de la poligonal
estaría dada por
Después de esta fórmula se determina como factor común el 2 lo que nos daría el área de la poligonal por 2. En esta podemos cancelar los términos iguales, por ejemplo, menos N1 por E1 se cancela con más N1 por E1 y así con todos. luego de cancelar organizamos los términos positivos primero menos los negativos, esto nos da como resultado la aplicación de la fórmula de la que hablábamos al inicio de Gauss.
Ya que vimos el desarrollo de
la fórmula veremos un ejemplo con coordenadas.
En este caso se multiplicó
cada norte con este en diagonal y se le restó la multiplicación de los este por
norte en diagonal. Por último, se divide en 2 como lo vemos en la fórmula.
Así, obtuvimos este resultado
que vemos en la poligonal.
Finalmente, con respecto a la bibliografía nos basamos en 2 videos de YouTube uno del canal GIS geomática y otro de la Universidad Politécnica de Valencia; también, en un documento compartido por topografíaunefm en una página web ya que explican claramente y con ejemplos los procedimientos para entender de una mejor manera el tema y en el último link para definir área, Gracias por su atención.
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https://www.youtube.com/watch?v=B5XFBACMbzM
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https://es.slideshare.net/topografiaunefm/tema-32-poligonales-y-calculo-de-superficie
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